Himpunan Bilangan
Pendahuluan
Himpunan merupakan salah satu dasar dari matematika.
Konsep dalam matematika dapat dikembalikan pada konsep himpunan, misalnya garis
adalah himpunan titik. Sebetulnya pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat
diterima secara intuitif. Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang
matematika. Gerorg Cantor dianggap
sebagai Bapak teori himpunan.
Ø Pengertian
Himpunan
Himpunan
merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan
jelas. Istilah didefinisikan dengan jelas dimaksukkan agar orang dapat
menentukan apakah suatu benda merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi
atau tidak. Anggota atau elemen adalah benda-benda atau objek-objek yang
termasuk dalam sebuah himpunan.
Contoh:
Himpunan
yang merupakan himpunan:
1. Himpunan anak yang berusia 12 tahun
2. Himpunan bilangan asli genap
3. Himpunan pulau-pulau di Indonesia
Himpunan
yang bukan merupakan himpunan:
1. Himpunan anak-anak malas
2. Himpunan wanita-wanita cantik
3. Himpunan lukisan indah
Ø
Cara Penulisan Himpunan
Ada
empat cara untuk menyatakan suatu himpunan
1)
dengan
menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda
kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.
Cara ini disebut juga cara Tabulasi.
Contoh: A = {a, i, u, e, o}
B
= {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}
2)
menyebutkan
syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.
Contoh:
ambil bilangan asli kurang dari 5
A
= bilangan asli kurang dari 5
3)
Notasi Pembentuk
Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari
anggotanya.
4)
Himpunan juga
dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn).
Penyajian
himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh seorang ahli matematika Inggris
bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta digambarkan dengan segiempat dan
himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam segiempat tersebut.
Ø
Macam-macam Himpunan Bilangan
1. Himpunan bilangan asli
Himpunan
bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan
bilangan bulat positif.
N
= {1,2,3,4,5,6,......}
2. Himpunan bilangan prima
Himpunan
bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi
dirinya sendiri dan satu.
P
= {2,3,5,7,11,13,....}
3. Himpunan bilangan cacah
Himpunan
bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan
bilangan bulat positif digabung dengan nol.
C
= {0,1,2,3,4,5,6,....}
4. Himpunan bilangan bulat
Himpunan
bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh
bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
B
= {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
5. Himpunan bilangan rasional
Himpunan
bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan
bilangan yang dapat dinyatakan sebagai: p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau
dapat dinyatakan sebagai suatudesimal berulang.
contoh:
0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain-lain.
6. Himpunan bilangan irasional
Himpunan
bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat
dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapatdinyatakan sebagai suatu
desimal berulang.
contoh:
log 2, 5/8
7. Himpunan bilangan riil
Himpunan
bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari
himpunan bilangan rasional dan irasional.
8. Himpunan bilangan imajiner
Himpunan
bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i
(satuanimajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1
contoh:
i, 4i, 5i
9. Himpunan bilangan kompleks
Himpunan
bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi)
dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.
contoh:
2-3i
Ø Diagram venn
Diagram Venn adalah
suatu model yang digunakan untuk memudahkan pembahasan mengenai himpunan dan
operasi- operasi pada himpunan tersebut. Diagram Venn biasanya digunakan sebagai
alat bantu untuk menggambarkan suatu himpunan atau hubungan antar himpunan.
Contoh diagram Venn
Ø Hubungan
Himpunan dengan Diagram Venn
Diagram Venn yang menyatakan hubungan himpunan S, P, dan Q,
seperti Gambar di bawah ini.
|
|
|
Gambar 1. Daerah
yang di arsir merupakan P irisan Q
|
Daerah yang diarsir pada diagram Venn di atas menunjukkan daerah
P 
Q.
Q.
 |
|
Gambar
2. Daerah yang diarsir
merupakan P gabungan Q
|
Adapun daerah arsiran pada Gambar di bawah menunjukkan daerah
P 
Q. Berdasarkan diagram Venn di di atas, tampak bahwa P Q = {1, 2, 3, 5, 7, 9}.
Q. Berdasarkan diagram Venn di di atas, tampak bahwa P Q = {1, 2, 3, 5, 7, 9}.
Ø Contoh Operasi Himpunan
Diketahui S = {0, 1, 2, ..., 15}; P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; Q = {1,
2, 5, 10, 11}; dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Gambarlah himpunan-himpunan
tersebut dalam diagram Venn. Tunjukkan dengan arsiran daerah-daerah himpunan
berikut.
a. P Q R
Q R
b.
P Q
Q
c.
Q R
R
d.
P (Q R)
(Q R)
e.
QC
f.
P – R
Penyelesaian:
Diketahui:
S = {0, 1, 2, 3, ..., 15} P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.
Berdasarkan himpunan-himpunan tersebut, dapat diketahui bahwa P Q R = {2}
Q R = {2}
P Q = {1, 2, 5}
Q = {1, 2, 5}
Q R = {2, 10}
R = {2, 10}
P R = 2, 4, 6}
R = 2, 4, 6}
Diagram Venn-nya sebagai berikut
 |
|
Gambar
3. Daerah yang diarsir
merupakan P irisan Q irisan R
|
a. Daerah arsiran pada diagram Venn di bawah menunjukkan himpunan
P Q R.
Q R.
 |
|
Gambar
4. Daerah yang diarsir merupakan P irisan Q irisan R
|
b. Daerah arsiran di di bawah menunjukkan himpunan P Q. Tampak bahwa P Q = {1, 2, 5}.
Q. Tampak bahwa P Q = {1, 2, 5}.
 |
|
Gambar
5. Daerah yang diarsir merupakan P irisan Q
|
c. Daerah yang diarsir pada diagram Venn di bawah menunjukkan
himpunan Q R. Dari gambar dapat diketahui bahwa Q R = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 14}.
R. Dari gambar dapat diketahui bahwa Q R = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 14}.
Gambar
6. Daerah yang diarsir merupakan Q gabungan R
|
d. Dari soal dapat diketahui bahwa Q R = {2, 10}, sehingga P (Q R) = {1, 2, 3, ..., 6} {2, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}. Daerah arsiran pada
diagram Venn di bawah ini menunjukkan daerah P (Q R).
R = {2, 10}, sehingga P (Q R) = {1, 2, 3, ..., 6} {2, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}. Daerah arsiran pada
diagram Venn di bawah ini menunjukkan daerah P (Q R).
 |
|
Gambar
7. Daerah yang diarsir merupakan P gabungan dari Q irisan R
|
e.
Diketahui S = {1, 2, ..., 15} dan Q = {1, 2, 5, 10, 11}, sehingga QC = {3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15}.
Daerah arsiran pada diagram Venn di samping menunjukkan himpunan QC.
 |
|
Gambar
8. Daerah yang diarsir merupakan komplemen Q
|
f. Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12,
14}, sehingga P – R = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} = {1, 3,
5}. Diagram Venn-nya sebagai berikut.
Gambar
9. Daerah yang diarsir merupakan P selisis R
Ø Himpunan Bilangan dan Skemanya
1.
Himpunan bilangan asli
Himpunan
bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan
bulat positif.
N =
{1,2,3,4,5,6,......}
2.
Himpunan bilangan prima
Himpunan
bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi
dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
P =
{2,3,5,7,11,13,....}
3.
Himpunan bilangan cacah
Himpunan
bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan
bilangan bulat positif digabung dengan nol.
C =
{0,1,2,3,4,5,6,....}
4.
Himpunan bilangan bulat
Himpunan
bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh
bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
B =
{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
5.
Himpunan bilangan rasional
Himpunan
bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan
bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat
dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: 0,-2, 2/7, 5,
2/11, dan lain lain
Ø Bilangan Butal dan Riil
Mengenal himpunan
Bilangan, menyebutkan sifat-sifat bilangan dan anggotanya
Suatu
himpunan didefinisikan sebagai koleksi objek-objek berbeda yang terdefinisi
dengan baik. Anggota suatu himpunan disebut elemen atau titik. Kata berbeda
dimaksud bahwa elemen yang sama hanya ditulis satu kali, sedang yang dimaksud
dengan terdefinisi dengan baik artinya kita dapat membedakan mana yang objek
yang menjadi anggota himpunan dan mana objek yang bukan anggota. Dengan
demikian jika diambil satu objek, kita dapat mengatakan objek itu anggota
himpunan atau tidak.
2. Membedakan Bilangan
Bulat dan Riil
Bilangan bulat
Contoh:
·
2 x 3 akan menghasilkan 6 dimana 2
adalah bilangan bulat, 3 adalah bilangan bulat dan 6 adalah bilangan bulat.
·
2 – 3 akan menghasilkan -1 dengan -1
adalah bilangan bulat negatif
·
2 + 3 akan menghasilkan 5 dengan 5
adalah bilangan bulat positif
sedangkan 2 / 3 akan
menghasilkan 0,67 dimana 0,67 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan
asli.
Sumber :
